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거짓말쟁이의 역설

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목차

1. 개요

거짓말쟁이의 역설은 "이 문장은 거짓이다"와 같이 자기 지시적인 문장이 참 또는 거짓으로 판단될 수 없어 발생하는 논리적 역설이다. 고대 그리스 철학자 에우불리데스에 의해 처음 제시되었으며, "크레타인은 모두 거짓말쟁이다"라는 에피메니데스의 역설과 유사한 형태를 갖는다. 이 역설은 진리와 거짓, 배중률에 대한 근본적인 질문을 제기하며, 언어 계층 이론, 진리값 이론, 자기 참조의 문제 등 다양한 해결 시도가 이루어졌다. 수학, 논리학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에 영향을 미쳤으며, 대중문화에서도 인공지능의 딜레마를 표현하는 데 활용된다.

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거짓말쟁이의 역설

2. 역사

기원전 6세기경 에피메니데스는 "모든 크레타인은 거짓말쟁이다"라고 말했는데, 이는 에피메니데스의 역설로 알려져 있지만, 엄밀히 말하면 거짓말쟁이의 역설과는 다르다.[1] 밀레투스의 에우불리데스는 기원전 4세기 "어떤 사람이 자기가 거짓말을 하고 있다고 말한다. 그가 말하는 것이 참인가 거짓인가?"라는 거짓말쟁이 역설의 한 버전을 제시했다.[2]

스트리돈의 제롬은 시편 116편을 인용하여 "모든 사람은 거짓말쟁이다"라는 다윗의 말이 참인지 거짓인지에 대해 논하며, 이 명제를 어떻게 해석해도 결론은 모순이라고 지적했다.[3] 5세기 인도의 문법학자 바르트르하리는 "내가 말하는 모든 것은 거짓이다"라는 문장을 통해 거짓말쟁이 역설을 제시하고, 일상생활에서 문제가 없는 진술과 역설 사이의 경계를 탐구했다.[4][5]

초기 이슬람 전통에서 거짓말쟁이의 역설에 대한 논의는 9세기 후반부터 시작되었으며, 나시르 알딘 알투시는 거짓말쟁이의 역설을 자기 지시적인 것으로 식별한 최초의 논리학자였을 수 있다.[6] 동아시아에서는 불교의 공(空) 사상과 같이 언어의 한계와 모순을 다루는 철학적 논의가 있었다.

2. 1. 서양

기원전 6세기경 에피메니데스는 "모든 크레타인은 거짓말쟁이다"라고 말했는데, 이는 에피메니데스의 역설로 알려져 있지만, 엄밀히 말하면 거짓말쟁이의 역설과는 다르다.[1] 에피메니데스 자신도 크레타 출신이었기 때문에, 이 말은 그가 다른 크레타인 중 적어도 한 명은 거짓말을 하지 않는다는 것을 알고 있다면 거짓으로 해결될 수 있다.

기원전 4세기 그리스 철학자 밀레투스의 에우불리데스는 "어떤 사람이 자기가 거짓말을 하고 있다고 말한다. 그가 말하는 것이 참인가 거짓인가?"라는 거짓말쟁이 역설의 한 버전을 제시했다.[2]

스트리돈의 제롬은 시편 116편을 인용하여 "모든 사람은 거짓말쟁이다"라는 다윗의 말이 참인지 거짓인지에 대해 논하며, 이 명제를 어떻게 해석해도 결론은 모순이라고 지적했다.[3]

5세기 인도의 문법학자 바르트르하리는 "내가 말하는 모든 것은 거짓이다"라는 문장을 통해 거짓말쟁이 역설을 제시하고, 일상생활에서 문제가 없는 진술과 역설 사이의 경계를 탐구했다.[4][5]

초기 이슬람 전통에서 거짓말쟁이의 역설에 대한 논의는 9세기 후반부터 시작되었으며, 나시르 알딘 알투시는 거짓말쟁이의 역설을 자기 지시적인 것으로 식별한 최초의 논리학자였을 수 있다.[6]

2. 1. 1. 고대 그리스

철학자이자 시인인 에피메니데스는 기원전 6세기에 "모든 크레타 섬 사람들은 거짓말쟁이이다."라는 글을 썼다. 에피메니데스 자신도 크레타 섬 사람이었다.[35] 하지만 에피메니데스의 역설은 거짓말쟁이의 역설과 혼동되기도 하지만, 엄밀히 말하면 같은 용어가 아니다. 에피메니데스가 의도적으로 거짓말쟁이의 역설을 노리고 글을 썼을 가능성은 매우 희박하며, 이것이 모순된다는 것도 후세에서야 발견되었을 것이다. 게다가 이 문장은 문장이 거짓일 경우에는 역설이 되지 않는다. 왜냐하면 크레타 섬 사람들 중 진실을 말한 사람이 한 명이라도 있다면, 이 문장은 거짓이 될 수 있기 때문이다.[1]

신약 성서의 디도서 1장 12-15절에는 에피메니데스의 말을 인용한 구절이 나온다.[21]

현재 알려진 거짓말쟁이의 역설 중 가장 오래된 것은 기원전 4세기에 살았던 고대 그리스의 철학자 밀레투스의 에우불리데스의 역설이다.[2] 에우불리데스는 "한 남자가 자기는 거짓말을 하고 있다고 말한다. 그가 말한 것은 참인가? 아니면 거짓인가?"라고 말하였다. 에우불리데스가 에피메니데스의 글을 알고 있었을 가능성은 매우 희박하다.

2. 1. 2. 중세

스트리돈의 제롬은 설교에서 거짓말쟁이 역설을 논의했다.[3] 제롬은 시편 116편의 "모든 사람은 거짓말쟁이다!"라는 구절을 인용하며, 다윗이 진실을 말하는 것인지 거짓말을 하는 것인지 질문을 던진다. 모든 사람이 거짓말쟁이라면 다윗도 거짓말을 하는 것이지만, 그렇게 되면 그의 말은 참이 아니게 된다는 모순이 발생한다.[3]

인도의 문법학자이자 철학자인 바르트르하리 (5세기 후반)는 "내가 말하는 모든 것은 거짓이다" (sarvam mithyā bravīmi)라는 문장으로 거짓말쟁이 역설을 제시했다.[4][5] 그는 이 역설을 "무의미성"의 역설과 함께 분석하며, 일상적인 진술과 역설 사이의 경계를 탐구했다. 바르트르하리는 숨겨진 매개변수가 일상적인 상황을 역설로 바꿀 수 있다고 보았다.

2. 1. 3. 근대

버트런드 러셀은 집합 이론의 관점에서 거짓말쟁이의 역설을 체계적으로 정리하였다. 그는 1901년에 러셀의 역설을 발견하였는데, 이는 자신을 원소로 가지지 않는 모든 집합을 원소로 포함하는 집합에 자기 자신도 원소로 포함되는지 여부를 고려할 때 발생하는 모순을 제시한다. 만약 이 집합에 자신을 원소로 포함한다면, 집합 정의에 따라 자신은 원소가 되지 않아야 한다. 반대로 만약 자신을 원소로 포함하지 않는다면, 역시 집합의 정의에 따라 자신도 원소가 되어야 한다.[1]

알프레트 타르스키는 스스로를 다시 참조하지 않는 문장들도 조합할 경우 스스로를 다시 참조하면서 역설적이 될 수 있다는 점에 주목하였다. 그는 이러한 '거짓말쟁이의 순환(liar cycle)' 문제를 해결하기 위해, 하나의 문장이 다른 문장의 참/거짓을 참조할 때 의미상 더 높은 계층에 있도록 하였다. 참조되는 문장은 '대상 언어(object language)'의 일부가 되며, 참조하는 문장은 목표 언어에 대한 '메타 언어(meta-language)'의 한 일부로 간주된다. 의미 계층(semantic hierarchy)의 더 높은 '언어들(languages)'에 있는 문장들은 '언어(language)' 계층에 있는 낮은 순위의 문장들을 참고해야 하며, 순서를 거꾸로 바꾸는 것은 허용되지 않는다. 이것은 시스템이 자기 참조가 되는 것을 막는다.[1]

2. 2. 동아시아

동아시아에서는 불교의 공(空) 사상과 같이 언어의 한계와 모순을 다루는 철학적 논의가 있었다.

2. 2. 1. 불교

नागार्जुन|나가르주나sa(용수)는 "공(空)" 사상을 통해 언어의 한계와 모순을 지적하며, 거짓말쟁이 역설과 유사한 논리적 문제를 다루었다.

2. 2. 2. 한국

일본의 토지대장법(1947년 법률 제30호, 1960년 4월 1일 폐지)은 제1조 제1항에서 "이 법 시행지에 있는 토지에 대해서는, 그 상황을 명확히 하기 위해, 이 법률이 정하는 바에 따라, 토지대장에 필요한 사항의 등록을 한다."고 규정하고, 제44조에서 "이 법률은, 국유지에는 이를 적용하지 아니한다."고 규정하고 있었다.[23] 제44조가 자기 언급을 하고 있기 때문에, 국유지를 토지대장에 등록해야 할지에 대한 논리적인 의문이 제기되었다. 즉, 국유지를 토지대장에 등록하지 않으면 토지대장법 제44조를 국유지에 적용한 것이 되므로, 토지대장법 제44조에 위반된다.[23]

토지대장법 제44조는 지조법(1931년 법률 제28호, 1947년 4월 1일 폐지) 제88조의 "본법은 국유지에 이를 적용하지 아니한다"는 규정을 계승한 것으로, 지조법에도 동일한 모순이 있었다.

3. 논리적 구조와 변형

거짓말쟁이의 역설은 진실과 거짓에 대한 일반적인 믿음이 실제로는 모순으로 이어진다는 것을 보여준다. 문법과 의미론 규칙에 완벽하게 부합하지만, 일관되게 진리값을 할당할 수 없는 문장이 만들어질 수 있다.

이 역설의 문제는 진리와 허위에 관한 일반 통념을 적용하면 모순이 유도된다는 점이다. 문법이나 의미론상 규칙을 준수하면서 진리값을 할당할 수 없는 문장을 구성할 수 있다.

스티븐 야블로는 무한 개의 문장에 의해 야블로의 역설이 발생함을 보였다. 임의의 자연수 n에 대해, Dn을 다음과 같이 정의한다.


  • n < m인 Dm은 거짓이다.(Dn)


거짓말쟁이의 역설을 더 잘 이해하려면, 더 형식적으로 표현할 수 있다. "이 문장은 거짓이다"를 A라고 한다. A는 자기 지칭적이므로, 그 진리값을 한정하는 조건을 식으로 쓸 수 있다.

어떤 문장 B가 거짓일 때, "B = false"로 나타낸다. 문장 B가 거짓이라고 말하는 문장 (C)은 "C = 'B = false'"로 나타낼 수 있다. 거짓말쟁이의 역설을 문장 A라고 하면, A는 거짓이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  • "A = 'A = false'"


이 등식에서 A = "이 문장은 거짓이다"의 진리값을 얻을 수 있다. 부울 대수에서는 "A = false"는 "not A"와 등가이며, 이 등식을 풀 수 없다. 이것이 A의 재해석의 동기가 된다. 이 식을 풀 수 있도록 하는 가장 단순한 논리적 수법은 딜레이시즘(dealetheism)적 수법이며, 그 경우 A는 "참"이면서 동시에 "거짓"이라고 해석한다. 다른 해결책에서는 식에 수정을 가하는 경우가 많다. 아서 프라이어는 이 식을 "A = 'A = false and A = true'"로 해야 한다고 주장했고, 결과적으로 A는 거짓이 된다고 했다. 계산 동사 논리에서는 이 문장을 "나는 그가 말하는 것을 듣는다. 그는 내가 듣지 않는다고 말한다"와 같은 형식으로 확장하여, 역설의 해결에 동사 논리를 사용한다.[18]

3. 1. 기본 형태

거짓말쟁이의 역설의 가장 단순한 형태는 다음과 같다.

  • 이 문장(A)은 거짓이다.


(A)가 참이라고 가정하면, "이 문장은 거짓이다"는 참이다. 따라서 (A)는 거짓이어야 한다. (A)가 참이라는 가정은 (A)가 거짓이라는 결론으로 이어지며, 이는 모순이다.

(A)가 거짓이라고 가정하면, "이 문장은 거짓이다"는 거짓이다. 따라서 (A)는 참이어야 한다. (A)가 거짓이라는 가정은 (A)가 참이라는 결론으로 이어지며, 이는 또 다른 모순이다. 어느 쪽이든, (A)는 참이면서 동시에 거짓이 되며, 이는 역설이다.[7]

거짓말쟁이 문장이 거짓이면 참이고 참이면 거짓이라는 사실은 일부 사람들에게 "참도 거짓도 아니다"라는 결론을 내리게 했다. 이 역설에 대한 반응은 모든 명제가 참 또는 거짓이어야 한다는 이중성 원리를 거부하는 것이며, 이는 배중률과 관련된 개념이다.

이 명제가 참도 거짓도 아니라는 제안은 다음과 같은 강화된 버전의 역설을 낳았다.

  • 이 문장(B)은 참이 아니다.


(B)가 '''참'''도 거짓도 아니라면, 그것은 '''참'''이 아니어야 한다. 이것이 (B) 자체가 진술하는 내용이므로, (B)는 '''참'''이어야 한다. 처음에는 (B)가 '''참'''이 아니었고 이제 참이 되었으므로, 또 다른 역설이 발생한다.

(A)의 역설에 대한 또 다른 반응은 그레이엄 프라이스트가 주장한 것처럼, 이 진술이 참이면서 동시에 거짓이라고 가정하는 것이다. 프라이스트의 분석은 다음과 같은 거짓말쟁이 버전으로 보완할 수 있다.

  • 이 문장(C)은 오직 거짓이다.


(C)가 '''참'''이면서 동시에 거짓이라면, (C)는 오직 거짓이다. 하지만 그렇다면, 그것은 '''참'''이 아니다. 처음에는 (C)가 '''참'''이었고 이제 '''참'''이 아니므로, 이는 역설이다. 그러나 이원적 관계 의미론(함수적 의미론)을 채택함으로써, 변증론적 접근 방식이 이 거짓말쟁이 버전을 극복할 수 있다고 주장되어 왔다.[8]

거짓말쟁이 역설의 다중 문장 버전도 있다. 다음은 두 문장 버전이다.

  • 다음 문장(D1)은 참이다.
  • 앞선 문장(D2)은 거짓이다.


(D1)이 참이라고 가정하자. 그러면 (D2)는 참이다. 이것은 (D1)이 거짓이라는 것을 의미한다. 따라서 (D1)은 참이면서 동시에 거짓이다.

(D1)이 거짓이라고 가정하자. 그러면 (D2)는 거짓이다. 이것은 (D1)이 참이라는 것을 의미한다. 따라서 (D1)은 참이면서 동시에 거짓이다. 어느 쪽이든, (D1)은 참이면서 동시에 거짓이다 – 위의 (A)와 동일한 역설이다.

거짓말쟁이 역설의 다중 문장 버전은 그러한 진술의 임의의 순환 시퀀스(마지막 진술이 첫 번째 진술의 진실성/거짓성을 주장하는 경우)로 일반화될 수 있으며, 각 문장이 다음 문장의 거짓성을 주장하는 홀수 개의 문장이 있을 경우 역설이 발생한다. 다음은 각 진술이 후계자의 거짓성을 주장하는 세 문장 버전이다.

  • E2는 거짓이다. (E1)
  • E3는 거짓이다. (E2)
  • E1은 거짓이다. (E3)


(E1)이 참이라고 가정하자. 그러면 (E2)는 거짓이고, 이는 (E3)이 참이고, 따라서 (E1)이 거짓이 되어 모순으로 이어진다.

(E1)이 거짓이라고 가정하자. 그러면 (E2)는 참이고, 이는 (E3)이 거짓이고, 따라서 (E1)이 참이 된다. 어느 쪽이든, (E1)은 참이면서 동시에 거짓이다 – (A)와 (D1)과 동일한 역설이다.

3. 2. 강화된 형태

"이 문장은 참이 아니다" 또는 "이 문장은 거짓이다 (즉, 동시에 참일 수는 없다)"와 같은 변형은 진리값을 '참' 또는 '거짓'으로 한정할 때 발생하는 문제를 보여준다.

  • 이 문장은 참이 아니다.(B)


(B)가 참도 아니고 거짓도 아니라면, (B)는 참이 아니어야 한다. 그런데 이것은 (B)가 주장하는 내용과 같으므로, (B)는 참이 된다. 결국 역설이 발생한다.

그레이엄 프리에스트처럼 모순 허용 논리를 가정하여 (A)가 참이면서 동시에 거짓이라고 할 수도 있다. 그러나 다음과 같은 강화된 형태에서는 모순 허용 논리로도 역설을 피할 수 없다.

  • 이 문장은 거짓이다 (즉, 동시에 참일 수는 없다).(C)


(C)가 참이면서 동시에 거짓이라면, (C)는 거짓이어야만 한다. 즉 (C)는 거짓이라고 말하지만, 참일 수는 없다는 것이므로, 결국 역설이 발생한다.

3. 3. 순환 형태

알프레트 타르스키는 스스로를 직접 참조하지 않는 문장들도 조합에 따라 역설이 될 수 있다고 보았다. 예를 들면 다음과 같다.

1. 2번 문장은 참이다.
2. 1번 문장은 거짓이다.



이러한 '거짓말쟁이의 순환(liar cycle)' 문제를 해결하기 위해 타르스키는 문장이 다른 문장의 참/거짓을 참조할 때 의미상 더 높은 위치에 있도록 하였다. 참조되는 문장은 '대상 언어(object language)'의 일부가 되고, 참조하는 문장은 목표 언어에 대한 '메타 언어(meta-language)'의 일부로 간주된다. 의미 계층(semantic hierarchy)에서 더 높은 '언어들(languages)'에 있는 문장들은 '언어(language)' 계층에서 낮은 순위의 문장들을 참고해야 하며, 그 반대는 허용되지 않는다. 이를 통해 시스템이 자기 참조가 되는 것을 막는다.

거짓말쟁이 역설의 다중 문장 버전도 존재한다. 다음은 두 문장으로 된 버전이다.

(D1) 다음 문장은 참이다.
(D2) 앞선 문장은 거짓이다.



(D1)이 참이라고 가정하면, (D2)는 참이다. 이는 (D1)이 거짓임을 의미하고, 따라서 (D1)은 참이면서 동시에 거짓이다.

(D1)이 거짓이라고 가정하면, (D2)는 거짓이다. 이는 (D1)이 참임을 의미하고, 따라서 (D1)은 참이면서 동시에 거짓이다. 어느 쪽이든 (D1)은 참이면서 동시에 거짓이라는 점에서 (A)와 동일한 역설이다.

이러한 형식은 여러 문장을 고리 모양으로 배치하여(마지막 문장이 첫 번째 문장의 진위를 말함) 다양하게 변형할 수 있다. 다음은 홀수 개의 문장을 사용한 예시로, 각 문장은 다음 문장이 거짓이라고 주장한다.

(E1) E2는 거짓이다.
(E2) E3는 거짓이다.
(E3) E1은 거짓이다.



(E1)이 참이라고 가정하면, (E2)는 거짓이고, (E3)은 참이 되며, 따라서 (E1)은 거짓이 되어 모순이 발생한다.

(E1)이 거짓이라고 가정하면, (E2)는 참이고, (E3)은 거짓이 되며, 따라서 (E1)은 참이 된다. 어느 쪽이든 (E1)은 참이면서 동시에 거짓이라는 점에서 (A) 및 (D1)과 동일한 역설이다.

스티븐 야블로는 무한 개의 문장을 사용하여 야블로의 역설을 제시했다.[33][34] 임의의 자연수 n에 대해 Dn을 다음과 같이 정의한다.


  • n < m인 Dm은 거짓이다.(Dn)

4. 해결 시도

거짓말쟁이의 역설은 진실과 거짓에 대한 일반적인 믿음이 실제로는 모순으로 이어진다는 것을 보여준다. 문법과 의미론 규칙에 완벽하게 부합하지만, 일관되게 진리값을 할당할 수 없는 문장이 만들어질 수 있다.

역설의 가장 단순한 형태는 다음과 같다.[7]


  • 이 진술(A)은 거짓이다.


(A)가 참이라면, "이 진술은 거짓이다"는 참이다. 따라서 (A)는 거짓이어야 한다. (A)가 참이라는 가정은 (A)가 거짓이라는 결론으로 이어지며, 이는 모순이다. 반대로 (A)가 거짓이라면, "이 진술은 거짓이다"는 거짓이다. 따라서 (A)는 참이어야 한다. (A)가 거짓이라는 가정은 (A)가 참이라는 결론으로 이어지며, 이는 또 다른 모순이다. 어느 쪽이든, (A)는 참이면서 동시에 거짓이 되며, 이는 역설이다.

거짓말쟁이 문장이 거짓이면 참이고 참이면 거짓이라는 사실은, 일부 사람들에게 그것이 "참도 거짓도 아니다"라는 결론을 내리게 했다. 이러한 반응은 모든 명제가 참 또는 거짓이어야 한다는 이중성 원리(배중률과 관련된 개념)를 거부하는 것이다.

이 명제가 참도 거짓도 아니라는 제안은 다음과 같은 강화된 버전으로 이어졌다.

  • 이 진술은 참이 아니다. (B)


(B)가 '''참'''도 거짓도 아니라면, 그것은 '''참'''이 아니어야 한다. 이것이 (B) 자체가 진술하는 내용이므로, (B)는 '''참'''이어야 한다. 처음에는 (B)가 '''참'''이 아니었고 이제 참이 되었으므로, 또 다른 역설이 발생한다.

(A)의 역설에 대한 또 다른 반응은 그레이엄 프라이스트가 주장한 것처럼, 이 진술이 참이면서 동시에 거짓이라고 가정하는 것이다. 프라이스트의 분석은 다음과 같은 거짓말쟁이 버전의 영향을 받는다.[8]

  • 이 진술은 오직 거짓이다. (C)


만약 (C)가 '''참'''이면서 동시에 거짓이라면, (C)는 오직 거짓이다. 하지만 그렇다면, 그것은 '''참'''이 아니다. 처음에는 (C)가 '''참'''이었고 이제 '''참'''이 아니므로, 이는 역설이다.

거짓말쟁이 역설의 다중 문장 버전도 있다. 다음은 두 문장 버전이다.

  • 다음 진술은 참이다. (D1)
  • 앞선 진술은 거짓이다. (D2)


(D1)이 참이라고 가정하면, (D2)는 참이다. 이것은 (D1)이 거짓이라는 것을 의미한다. 따라서 (D1)은 참이면서 동시에 거짓이다. (D1)이 거짓이라고 가정하면, (D2)는 거짓이다. 이것은 (D1)이 참이라는 것을 의미한다. 따라서 (D1)은 참이면서 동시에 거짓이다. 어느 쪽이든, (D1)은 참이면서 동시에 거짓이다.

다중 문장 버전은 그러한 진술의 임의의 순환 시퀀스(마지막 진술이 첫 번째 진술의 진실성/거짓성을 주장하는 경우)로 일반화되며, 후계자의 거짓성을 주장하는 홀수 개의 진술이 제공된다. 다음은 각 진술이 후계자의 거짓성을 주장하는 세 문장 버전이다.

  • E2는 거짓이다. (E1)
  • E3는 거짓이다. (E2)
  • E1은 거짓이다. (E3)


(E1)이 참이라고 가정하면, (E2)는 거짓이고, 이는 (E3)이 참이고, 따라서 (E1)이 거짓이 되어 모순으로 이어진다. (E1)이 거짓이라고 가정하면, (E2)는 참이고, 이는 (E3)이 거짓이고, 따라서 (E1)이 참이 된다. 어느 쪽이든, (E1)은 참이면서 동시에 거짓이다.

솔 크립키는 문장이 역설적인지 여부는 우연적인 사실에 따라 달라질 수 있다고 주장했다.[11] 예를 들어, 스미스가 존스에 대해 "존스가 나에 대해 말하는 것의 대다수는 거짓이다."라는 말만 했다고 가정한다. 그리고 존스가 스미스에 대해 다음 세 가지 말만 했다고 가정한다.

  • 스미스는 돈을 많이 쓴다.
  • 스미스는 범죄에 관대하다.
  • 스미스가 나에 대해 말하는 모든 것은 사실이다.


만약 스미스가 실제로 돈을 많이 쓰지만 범죄에 관대하지 않다면, 스미스가 존스에 대해 한 말과 존스가 스미스에 대해 한 마지막 말 모두 역설적이다. 크립키는 어떤 진술의 진리값이 세상에 대한 평가 가능한 사실과 궁극적으로 연관되어 있다면, 그 진술은 "근거가 있는" 것이고, 그렇지 않다면 "근거가 없는" 것이라고 주장했다. 그는 근거가 없는 진술은 진리값을 갖지 않으며, 거짓말쟁이 문장과 거짓말쟁이와 유사한 문장은 근거가 없으므로 진리값을 갖지 않는다고 보았다.

4. 1. 언어 계층 이론

알프레트 타르스키는 스스로를 다시 참조하지 않는 문장들을 조합해도, 결과적으로 자기 참조가 되어 역설이 발생할 수 있다고 보았다. 그는 이러한 문제를 해결하기 위해 언어 계층 이론을 제시했는데, 핵심은 대상 언어와 메타 언어를 구분하는 것이다.

타르스키는 '거짓말쟁이의 순환(liar cycle)' 문제를 해결하기 위해, 문장이 다른 문장의 참/거짓을 참조할 때 의미상 더 높은 위치에 있도록 하였다. 즉, 참조되는 문장은 '대상 언어(object language)'가 되고, 참조하는 문장은 대상 언어에 대한 '메타 언어(meta-language)'가 된다.

의미 계층(semantic hierarchy)에서 상위 '언어(languages)'의 문장은 하위 '언어'의 문장을 참조할 수 있지만, 그 반대는 허용되지 않는다. 이를 통해 자기 참조를 막을 수 있다.

타르스키는 역설이 "의미론적으로 닫힌" 언어에서만 발생한다고 보았다. 이는 한 문장이 같은 언어 내의 다른 문장(또는 자기 자신)의 진리(또는 거짓)를 서술할 수 있는 언어를 의미한다. 그는 자기 모순을 피하려면, 진리값을 논할 때 각 하위 수준의 언어에 대해서만 진리(또는 거짓)를 서술할 수 있는 언어 수준을 상정해야 한다고 주장했다.

4. 2. 진리값 이론

거짓말쟁이의 역설은 진실과 거짓에 대한 일반적인 믿음이 실제로는 모순으로 이어진다는 문제점을 제시한다. 이 역설에 대한 해결책으로, 다음과 같은 진리값 이론들이 제시되었다.

  • 다치 논리: 참, 거짓 외에 제3의 진리값을 도입하여 모순을 해결하려는 시도이다.
  • 퍼지 논리: 명제의 진리값이 0과 1 사이의 임의의 실수일 수 있으며, "이 명제는 거짓이다"라는 명제는 0.5의 진리값을 가질 수 있다.[9][10] 이는 정확히 절반은 참이고 절반은 거짓임을 의미한다.

  • 진리양립론 (Dialetheism): 모순이 참일 수 있다는 관점을 통해 거짓말쟁이 역설을 해결하려는 시도이다.
  • 그레이엄 프리에스트를 비롯한 논리학자들은 거짓말쟁이 문장이 참이면서 동시에 거짓이라고 주장한다.[30] 이는 진리양립론으로 알려져 있으며, 참인 모순이 있다는 견해이다.
  • 진리양립론은 폭발 원리를 거부해야 한다는 문제점이 있다. 폭발 원리는 모순으로부터 모든 명제를 추론할 수 있다고 주장하는 원리이다. 이를 거부하는 논리는 ''준합치적 논리''라고 불린다.

4. 3. 기타 해결 시도

아서 프라이어는 거짓말쟁이의 역설에 모순이 없다고 주장했다. 그는 모든 진술에 자신의 진실성에 대한 암묵적인 주장이 포함되어 있다고 보았다.[14] 예를 들어, "2 더하기 2는 4이다"라는 진술은 "2 더하기 2는 4라는 것은 진실이다"라는 진술과 같은 정보를 담고 있으며, "…라는 것은 진실이다"라는 구문은 항상 암묵적으로 존재한다고 설명했다. 그는 거짓말쟁이의 역설에서 "…라는 것은 진실이다"라는 구문은 "이 전체 진술은 진실이고 ..."와 같다고 보았다.

따라서 다음 두 진술은 동일하다.

  • 이 진술은 거짓이다.
  • 이 진술은 진실이고, 이 진술은 거짓이다.


프라이어에 따르면, 후자는 "A이고, A가 아니다" 형식의 단순한 모순이며, 따라서 거짓이다. 그러므로 이 두 연접 거짓말쟁이가 거짓이라는 주장이 모순으로 이어지지 않기 때문에 역설은 없다. 유진 밀스도 비슷한 답변을 제시했다.[15]

솔 크립키는 문장이 역설적인지 여부는 우연적인 사실에 따라 달라질 수 있다고 주장했다.[11] 예를 들어, 스미스가 존스에 대해 다음과 같은 말만 했다고 가정한다.

  • 존스가 나에 대해 말하는 것의 대다수는 거짓이다.


그리고 존스가 스미스에 대해 다음 세 가지 말만 했다고 가정한다.

  • 스미스는 돈을 많이 쓴다.
  • 스미스는 범죄에 관대하다.
  • 스미스가 나에 대해 말하는 모든 것은 사실이다.


만약 스미스가 실제로 돈을 많이 쓰지만 범죄에 관대하지 않다면, 스미스가 존스에 대해 한 말과 존스가 스미스에 대해 한 마지막 말 모두 역설적이다. 크립키는 어떤 진술의 진리값이 세상에 대한 평가 가능한 사실과 궁극적으로 연관되어 있다면, 그 진술은 "근거가 있는" 것이고, 그렇지 않다면 "근거가 없는" 것이라고 주장했다. 그는 근거가 없는 진술은 진리값을 갖지 않으며, 거짓말쟁이 문장과 거짓말쟁이와 유사한 문장은 근거가 없으므로 진리값을 갖지 않는다고 보았다.

존 바르와이즈와 존 에체멘디는 거짓말쟁이 문장(강화된 거짓말쟁이와 동의어로 해석)이 모호하다고 주장했다. 그들은 "거부"와 "부정"을 구분하여, 거짓말쟁이 문장이 "이 진술이 참이 아니라는 것이다"를 의미한다면 자기 자신을 거부하는 것이고, "이 진술은 참이 아니다"를 의미한다면 자기 자신을 부정하는 것이라고 설명했다. 그들은 상황 의미론에 근거하여 "거부 거짓말쟁이"는 모순 없이 참일 수 있고 "부정 거짓말쟁이"는 모순 없이 거짓일 수 있다고 주장했다.

5. 응용 및 영향

거짓말쟁이의 역설은 수학, 논리학, 컴퓨터 과학, 대중문화 등 다양한 분야에 영향을 미쳤다.


  • 수학/논리학: 버트런드 러셀은 러셀의 역설을 통해 집합 이론의 관점에서 거짓말쟁이의 역설을 체계적으로 정리했다.[1] 알프레트 타르스키는 문장 간 의미 계층을 도입하여 자기 참조 문제를 해결하고자 했으며,[2] 타르스키의 정의 불가능성 정리를 통해 진리 술어의 정의 불가능성을 증명하는 데에도 이 역설을 활용했다.[19] 쿠르트 괴델은 거짓말쟁이 역설을 변형하여 괴델 문장을 만들었고,[19] 조지 부울로스는 베리의 역설을 이용하여 괴델의 불완전성 정리에 대한 대안적인 증명을 제시했다.
  • 컴퓨터 과학: 앨런 튜링은 정지 문제의 해결 불가능성을 증명하는 데 거짓말쟁이 역설과 유사한 논리를 사용했다.[18]
  • 대중문화: 스타 트렉: 오리지널 시리즈 에피소드 "나, 머드"에서는 거짓말쟁이의 역설을 이용하여 안드로이드를 혼란에 빠뜨리고 무력화한다.[20] 1973년 닥터 후 연작 "녹색 죽음"에서 닥터는 질문으로 정신 나간 컴퓨터 BOSS를 일시적으로 꼼짝 못하게 한다.[20] 포탈 2에서는 인공 지능 GLaDOS가 "이 문장은 거짓이다"라는 역설을 사용하며,[20] 마인크래프트: 스토리 모드의 에피소드 "Access Denied"에서는 주인공이 PAMA라는 슈퍼컴퓨터를 혼란시키기 위해 역설을 사용한다.[20]

5. 1. 수학/논리학

버트런드 러셀은 러셀의 역설을 통해 거짓말쟁이의 역설을 집합 이론의 관점에서 체계적으로 정리하고, 자기 자신을 원소로 포함하는 집합에 대한 문제를 제기했다.[1]

알프레트 타르스키는 문장 간의 의미 계층을 도입하여 자기 참조 문제를 해결하고자 했다. 그는 참조되는 문장을 '대상 언어', 참조하는 문장을 '메타 언어'로 구분하고, 의미 계층이 높은 언어가 낮은 언어를 참조하는 것은 허용하지만 그 반대는 허용하지 않음으로써 자기 참조를 방지했다.[2]

쿠르트 괴델은 거짓말쟁이 역설을 변형하여 "이 문장은 증명 불가능하다"라는 괴델 문장을 만들었다. 그는 이 문장이 참이지만, 주어진 수학 체계 내에서는 증명할 수 없음을 보였다.[19] 이는 수학 체계의 본질적인 한계를 드러내는 중요한 결과이다.

알프레트 타르스키는 타르스키의 정의 불가능성 정리를 통해 진리 술어의 정의 불가능성을 증명하는 데 거짓말쟁이 역설을 활용했다. 그는 "Q는 거짓 공식의 괴델 수이다"라는 술어가 산술 공식으로 표현될 수 없음을 보였다.[19]

조지 부울로스는 베리의 역설을 이용하여 참이지만 증명 불가능한 공식을 구성함으로써 괴델의 불완전성 정리에 대한 대안적인 증명을 제시했다.

5. 2. 컴퓨터 과학

앨런 튜링은 정지 문제의 해결 불가능성을 증명하는 데 거짓말쟁이 역설과 유사한 논리를 사용했다.[18]

5. 3. 대중문화

스타 트렉: 오리지널 시리즈 에피소드 "나, 머드"에서 제임스 T. 커크 선장과 해리 머드는 거짓말쟁이의 역설을 이용하여 그들을 사로잡은 안드로이드를 혼란시키고 무력화시킨다.[20] 1973년 닥터 후 연작 "녹색 죽음"에서 닥터는 "만약 내가 다음에 하는 말이 사실이고, 마지막으로 한 말이 거짓말이라고 말한다면, 당신은 나를 믿겠습니까?"라는 질문으로 정신 나간 컴퓨터 BOSS를 일시적으로 꼼짝 못하게 한다.[20]

2011년 비디오 게임 포탈 2에서 인공 지능 GLaDOS는 "이 문장은 거짓이다"라는 역설을 사용하여 또 다른 인공 지능인 위틀리를 죽이려 시도한다. 그러나 위틀리는 이 진술이 역설이라는 것을 깨달을 지능이 부족하여, "음, 사실이야. 사실로 갈게. 자, 쉬웠어."라고 응답하며 영향을 받지 않는다. GLaDOS를 제외한 다른 모든 인공 지능들은 GLaDOS와 위틀리보다 훨씬 덜 지각 있고 명석하며, 역설을 듣고 죽는다. 그러나 GLaDOS는 나중에 위틀리를 죽이려는 시도 때문에 거의 자멸할 뻔했다고 언급한다.[20]

마인크래프트: 스토리 모드의 일곱 번째 에피소드 "Access Denied"에서 주인공 제시와 친구들은 PAMA라는 슈퍼컴퓨터에 의해 붙잡힌다. PAMA가 제시의 친구 두 명을 조종한 후, 제시는 PAMA가 역설을 처리할 때 멈추고 그를 혼란시켜 마지막 친구와 함께 탈출하기 위해 역설을 사용한다는 것을 알게 된다. 플레이어가 제시에게 말하게 할 수 있는 역설 중 하나는 거짓말쟁이의 역설이다.[20]

6. 한국의 관점

한국의 전통 철학, 특히 불교의 중관 사상과 원효의 화쟁 사상은 언어의 한계와 모순을 다루는 데 있어 거짓말쟁이 역설과 유사한 문제를 탐구했다. 현대 한국 사회에서는 법률, 정책, 담론 등 다양한 분야에서 자기 지시적 모순이 발생할 수 있으며, 이에 대한 비판적 분석과 해결 노력이 필요하다. 예를 들어, 특정 정치인의 발언이나 정책 결정 과정에서 거짓말쟁이 역설과 유사한 논리적 모순이 발견될 수 있으며, 이는 사회적 논쟁으로 이어질 수 있다.

특히, 더불어민주당을 비롯한 진보 진영에서는 권위주의적, 보수적인 주장에 대해 비판적 입장을 견지하며, 이 과정에서 논리적 모순을 지적하는 경우가 많다. 반대로, 국민의힘과 같은 보수 진영의 주장에 대해서는 그 논리적 허점을 파고드는 방식으로 비판이 이루어질 수 있다.

참조

[1] bibleverse All Cretans are liars.
[2] 웹사이트 Paradoxes of Eubulides http://philosophy.ab[...] About.com (New York Times) 2012-09-04
[3] 간행물 Homily on Psalm 115 (116B) The Catholic University of America Press
[4] 논문 Bhartrhari's solution to the Liar and some other paradoxes
[5] 논문 Paradoxe et perspectivisme dans la philosophie de langage de Bhartrhari: langage, pensée et réalité https://www.academia[...] 2018-08-04
[6] 웹사이트 The Early Arabic Liar:The Liar Paradox in the Islamic World from the Mid-Ninth to the Mid-Thirteenth Centuries CE https://web.archive.[...]
[7] 간행물 Gaps, Gluts, and Paradox
[8] 논문 What is an Inconsistent Truth Table?
[9] 논문 The Liar Paradox and Fuzzy Logic 2000-03
[10] 논문 Computation of fuzzy truth values for the liar and related self-referential systems http://users.auth.gr[...] 2021-02-17
[11] conference Outline of a theory of truth Journal of Philosophy 1975-11-06
[12] 웹사이트 Liar Paradox: Section 4.3.1 Tarski's hierarchy of languages https://plato.stanfo[...] 2021-01-16
[13] 서적 Unifying the Philosophy of Truth Springer 2015-06-17
[14] 서적 Theories of Truth: A Critical Introduction MIT Press 1992
[15] 논문 A simple solution to the Liar
[16] 간행물 Bhartrhari's Perspectivism (1) Rodopi
[17] 서적 The Logic of Reflection. German Philosophy in the Twentieth Century Yale University Press
[18] 논문 Computational verb systems: The paradox of the liar 2001-09
[19] 서적 What is mathematical logic? Oxford University Press
[20] 잡지 Fightin' Words: Robert Earl Keen v. Toby Keith https://www.texasmon[...] 2021-07-12
[21] 서적 聖書 日本聖書協会
[22] 간행물 Homily on Psalm 115 (116B) The Catholic University of America Press
[23] 문서 第44条は自己言及ではない。国有地を土地台帳に登録しないのは、土地台帳法に従ったからではなく、土地台帳法の適用対象ではないからである。なぜなら、土地台帳法に従うなら、土地台帳に登録せねばならないからである。
[24] Harvnb
[25] 문서 ‘A simple solution to the Liar’
[26] Harvnb
[27] Harvnb
[28] Harvnb
[29] Harvnb
[30] Harvnb
[31] 논문 Computational verb systems: The paradox of the liar 2010-05-12
[32] 서적 ゲーデルの不完全性定理 丸善
[33] 간행물 Yablo-like paradoxes and coinduction
[34] 웹사이트 ヤブローのパラドックス と余帰納法 https://researchmap.[...]
[35] bibleverse 디도서 1장 12절에도 나온다.


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